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By John George Williams

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Example text

Also sind bei einer irreduziblen Kubik aIle singularen Punkte von der Ordnung 2. Bei der Quartik V«X; + X~)2 + 3X;X2 - X~) (dreibliittriges Kleeblatt) hat der Ursprung die Ordnung 3, bei der Sextik V«X; + X~)3 - 4X; X~) (vierbliittriges Kleeblatt) 32 3. Tangenten und Singularitaten die Ordnung 4. 3. 4. Vierbliittriges Kleeblatt In diesen Beispielen zahlt die Ordnung die "lokalen Zweige" der Kurve (vgl. 14). Ganz anders sieht das Ovoid v (X? + Xi)2 - Xf) aus, eine Quartik mit Ordnung 3 im Ursprung.

3. Eine affine Kurve C C K2 solI nun zu einer projektiven Kurve C C lF2(K) fortgesetzt werden. Dazu mu£ man entscheiden, welche unendlich fernen Punkte hinzuzunehmen sind. 1m Fall von K = lR oder Chat lF2 (K) als Quotient von K3 eine Top ologie , und es ist naheliegend, C als den topologischen Abschlu£ zu erkli:iren. 3. Projektiver Abschlufi einer Kurve unendlich ferne Punkt dazugenommen. fit sich durch eine einfache Rechnung mit Polynomen wie folgt beschreiben. 1st FE K[X o, XI, X 2] ein homogenes Polynom, so heifit die Varietat von F; genauer ist V(F) die Menge der Geraden durch 0 im affinen Kegel {(XO,Xl,X2) E K3:F(xo,XI,X2) = o} zu V(F).

Dies geschieht in der Hoffnung, den Leser durch Vorwegnahme der schonen Anwendungen zum Studium der folgenden sehr technischen Kapitel starker zu motivieren. 1. Die erste Klippe ist die Einfiihrung der dualen Kurve. Sie ist eine Teilmenge des dualen proiekiiven Raumes JlD;(C). Einem Punkt Y = (yo: Yl: Y2) E JlD;(C) entspricht die Gerade V(yoXO + y1X1 + Y2X2) c JlD 2(C) . Sie ist di,! ) (vgl. 1). ). Dann gehOrt zum Pol q = (qo: ql: q2) die Polare V(qoXo - q1X1 - q2X2) (vgl. 1). Definition. Sei C c JlD 2 (C) eine algebraische Kurve.

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